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MATLAB

数学建模 2022/05/07

数据类型

​ 在MATLAB中有15种基本的数据类型

数据类型 说明
int8,int16,int32.int64 有符号整型
uint8,uint16,uint32,uint64 无符号整型
single 单精度浮点型
double 双精度浮点型
logical 逻辑型
char 字符串型
cell 单元数组型
struct 结构体型
function_handle 函数句柄型

​ 在命令行中声明了变量之后，我们可以调用whos语句查看当前已经声明的所有变量以及详细信息

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clc;//清屏
a1=int8(6)
a2=int16(-20)
a3=uint32(100)
a4=uint64(200)
b1=single(3.5)
b2=12
c1=true
c2{1,1}=100
c3='hello'
c4.name='robin'
d=@cos

​ 调用whos语句观察变量

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Name      Size            Bytes  Class              Attributes

 a         1x1                 8  double                       
 a1        1x1                 1  int8                         
 a2        1x1                 2  int16                        
 a3        1x1                 4  uint32                       
 a4        1x1                 8  uint64                       
 b         1x1                 8  double                       
 b1        1x1                 4  single                       
 b2        1x1                 8  double                       
 c         1x1                 8  double                       
 c1        1x1                 1  logical                      
 c2        1x1               120  cell                         
 c3        1x5                10  char                         
 c4        1x1               186  struct                       
 d         1x1                32  function_handle

在声明了数据变量后，可以用‘clc’语句清空当前命令行中的所有内容，但是不会清除变量的声明，要清除变量的声明，需要使用‘clear all‘语句

在程序中，可以调用intmin()和intmax()得到有符号整数和无符号整数的取值范围

浮点数的取整

​ MATLAB中，对于浮点数有对应的取整函数，不同的函数具体实现结果也不一样

函数 说明
round() 向最接近的整数取整，如果小数为0.5，则取绝对值大的整数
fix() 向0取整
floor() 不大于该数的最接近整数
ceil() 不小于该数的最接近整数

​ 双精度浮点数(double)是MATLAB中默认的数据类型，如果输入某个数据后没有明确的指明类型，则默认为double双精度浮点数类型

不同数据类型之间的运算

​ 在MATLAB中，不同的数据类型之间也可以进行运算，比如：

1.浮点数和其他类型的数据进行运算时，返回的结果取决于运算中的其他数据类型。

2.单精度浮点型与逻辑型和字符型进行运算时，返回结果为单精度浮点型

3.单精度浮点型不能和整数型进行运算，如果需要运算必须先将单精度型转换为双精度型

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 a=single(123.4)

a =

  single

  123.4000

>> b1=a+true

b1 =

  single

  124.4000

>> b2=a+'a'

b2 =

  single

  220.4000

>> b3=a+10.5

b3 =

  single

  133.9000

>> c=double(678.9)

c =

  678.9000

>> d1=c+false

d1 =

  678.9000

>> d2=c+'hello'

d2 =

  782.9000  779.9000  786.9000  786.9000  789.9000

>> d3=c+single(10.2)

d3 =

  single

  689.1000

>> d4=c+int32(100)

d4 =

  int32

   779

>>

​ 调用whos语句观察所有变量，即可观察到

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Name      Size            Bytes  Class     Attributes

 a         1x1                 4  single              
 b1        1x1                 4  single              
 b2        1x1                 4  single              
 b3        1x1                 4  single              
 c         1x1                 8  double              
 d1        1x1                 8  double              
 d2        1x5                40  double              
 d3        1x1                 4  single              
 d4        1x1                 4  int32

复数

函数 说明
complex() 创建复数，a为实，b为虚部
real(z) 得到复数z的实部
imag(z) 得到复数z的虚部
abs(z) 得到复数z的模
angle(z) 得到复数z的角度
conj(z) 得到复数z的共轭复数

创建复数有两种方法，一种是直接声明，一种是调用complex函数声明

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clear all;
z1=3+5i
z2=4+5j
z3=complex(1,2)
z4=complex(1:4,2:5)

其中z4变量的声明之后，我们会发现z4变量的结果是这样的

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z4 =

   1.0000 + 2.0000i   2.0000 + 3.0000i   3.0000 + 4.0000i   4.0000 + 5.0000i

​ 我们可以看出，z4中的“：”，相当于从1一直声明到4，类似于c语言中的for循环一样

数值显示格式

​ MATLAB中有专门的函数format()，确定数值类型的显示格式

format()函数格式 说明
format short或format(‘short’) 默认显示，保留小数点后4位
format long或format(‘long’) 有效数字16位
format long e 有效数字16位加3位指数
format short e 有效数字5位加3位指数
format bank或format(‘bank’) 保留两位小数位
format +或format(‘+’) 只给出正、负
format rational或format(‘rational’) 以分数形式表示
format hex或format(‘hex’) 16进制数
format long g 15位有效数
format short g 5位有效数

元胞数组

​ 元胞数组是MATLAB中特有的一种数据类型，并且matlab中的元胞数组中的元素下标是从1开始的，不同于一般的编程语言下标是从0开始的

Matlab中元胞数组的初始化

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A =

  1×6 cell 数组

    []    []    []    []    []    [] 
    此处即是初始化一个一行六列的元胞数组

eye语句

生成一个3*3的对角线上为1的单位矩阵

magic语句

​ magic在matlab中用来生成n阶幻方，比如三阶幻方就是1-9九个数字，组成一个3*3的矩阵，使得该矩阵无论横、竖还是斜三个方向上的三个数的和总是相同的。

​ magic(n)生成一个n阶幻方，九十八1-n^2排成一个n*n的矩阵，使得矩阵的每行、每列，以及主副对角线上面的n个数之和都相等

结构体Struct

​ 结构体类似于python的字典，接下来我们初始化一个结构体

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books = struct('name',{{'Machine Learning','Data Mining'}},'price',[30 40])
books.name
books.name(1)
books.name{1}

​ 运行结果如下

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books = 
  包含以下字段的 struct:
     name: {'Machine Learning'  'Data Mining'}
    price: [30 40]

ans =
  1×2 cell 数组
    'Machine Learning'    'Data Mining'
ans =
  cell
    'Machine Learning'
ans =
Machine Learning

MATLAB中的矩阵操作

矩阵的定义与构造在matlab中有很多种方式，基本的方式如下

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A=[1 2 3 5 8 5 4 6] %此处是直接定义并初始化一个矩阵

此外，还有一种比较独特的方式，通过步长从某一个数值开始，一直将最后的满足小于上界的数填入矩阵中

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B=1:3:9
B=1:2:9

结果如下

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>> B=1:3:9

B =

     1     4     7

>> B=1:2:9

B =

     1     3     5     7     9
1
2
C=repmat(B,3,1) %竖向重复B矩阵3次，横向只重复一次
D=ones(4,4) %初始化一个全1矩阵，其规格为四行四列

矩阵的四则运算

我们先假定有两个已经初始化完毕的矩阵且他们的行列数都相同

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A=[1 2 3 4;5 6 7 8]
B=[1 1 2 2;2 2 1 1]
C=A+B%两个矩阵相加，对应的元素两两相加
D=A-B
E=A*B'%B的单引号代表将B转置
F=A.*B
G=A/B
H=A./B

通过计算之后，我们可以得出如下结果：

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C =

     2     3     5     6
     7     8     8     9
D =

     0     1     1     2
     3     4     6     7
E =

    17    13
    41    37
F =

     1     2     6     8
    10    12     7     8
G =

    1.8333   -0.1667
    3.1667    1.1667

矩阵的下标

关于矩阵的下标，有如下几种操作

首先我们创建一个幻方：

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A=magic(5)

A = 17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9

接下来通过几种对矩阵A下标进行操作的方式，分别创建出几个分矩阵

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B=A(2,3)

B =  7

C =
     4     6    13    20    22

>> D=A(:,4)
D =
     8
    14
    20
    21
     2

>> [m,n]=find(A>20)%找出矩阵中大于20的数的下标，m代表行数，n代表列数
m =
     2
     1
     5
     4
     3
n =
     1
     2
     3
     4
     5

基本操作

1.每一个语句之后要加分号，如果不加分号就会直接输出语句执行结果

2.注释语句ctrl+R

3.取消注释语句ctrl+T

4.clear:清除工作区的所有变量

5.clc:清除命令行的所有文本信息

帮助的使用

help

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3
help %"帮助"总览
help elfun %关于基本函数的“帮助”信息
help exp %指数函数exp的详细信息

特殊矩阵

所有元素为1的矩阵

1
ones(n),ones(size(a)),ones(m,n)

所有元素为0的矩阵

1
zeros(n),zeros(m,n)

随机数矩阵

1
rand(m,n)

产生m*n矩阵，其中的元素是服从[0,1]上均匀分布的随机数

1
normrnd(mu,sigma,m,n)

产生m*n矩阵，其中的元素是服从均值为mu,标准差为sigma的正态分布的随机数

1
exprnd(mu,m,n)

产生m*n矩阵，其中的元素是服从均值为mu的指数分布的随机数

1
poissrnd(mu,m,n)

产生m*n矩阵，其中的元素是服从均值为mu的泊松(Poisson)分布的随机数

1
unifrnd(a,b,m,n)

产生m*n矩阵，其中的元素是服从区间[a,b]上均匀分布的随机数

绘图命令(制图)

plot命令

例：plot([1,3],[2,9],’r’)

image

我们可以看到，横轴对应第一个向量[1,3],纵轴对应第二个向量[2,9],且制图线色为红色(red)

函数绘制

1
fplot(fun,lims)

字符串fun：指定函数名的函数

lims：x轴区间

image

首先书写函数文件

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function y=Afun1(x);
if x<1
    y=x+1;
else
    y=1+1/x;
end
image

对于函数y=tanx以及y=x^2+y^2/4=1类似的图形，可以用ezplot函数进行绘制

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2
ezplot('tan(x)')
ezplot('x^2+y^2/4=1')

绘制函数样例2

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clear all;
t=0.01:0.01:2*pi;
y=sin(t);
figure;%创建一个函数画布
plot(y);%绘制图像

结果

image-20220911143755087

子图绘制

Matlab中，采用函数subplot()进行子图绘制。该函数能够将几个图形在同一个图形窗口中绘制出来，且采用不同的坐标系

样例：

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>> x=-pi:pi/10:pi
>> figure
>> subplot(2,1,1)
>> plot(x,sin(x),'r--')
>> subplot(2,1,2)
>> plot(x,cos(x),'b:*')
%假定plot函数一般使用式为plot(x,y),则再matlab中，x代表横坐标的范围，y代表纵坐标的范围

结果

image-20220911151103495

subplot(m,n,p)

​ 该函数将当前图形窗口分为m*n个片区，并将其从左往右从上至下排列，p决定将图形绘制在几号片区，不同的绘图片区相互独立，可以绘制完全不一样的图像

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%对绘制的坐标系加上边框
box off&box on
%对绘制的坐标系设置网格线
grid on&gird off

1.set(gca,’xtick’,0：100：2500) 

1
功能： 设置X轴坐标范围0到2500，显示间隔是100；

2.set(gca,’ytick’,0：100：2500)

1
功能： 设置X轴坐标范围0到2500，显示间隔是100；

注意set语句要放在绘图语句后面才起作用！

数据光标

​ Matlab中，通过数据光标功能，可以观察鼠标移到位置的横纵坐标情况，具体方式如下

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2
datacursormode on%打开图形数据光标功能
datacursormode off%关闭图形数据光标功能

效果如下

image-20220911155830812

叠加图绘制

matlab中，在已经绘制好的函数图上再绘制新的函数时，需要采用函数hold启动或者关闭图形保持功能

image-20220911151339549

三维图形

绘制三维曲线

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plot3(x,y,z)

这里x,y,z都是n维向量，分别表示该曲线上点集的横坐标、纵坐标、竖坐标

例：在区间[0,10pi]画出参数曲线x=sint,y=cost,z=t,并分别标注

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t=0:pi/50:10*pi;
plot3(sin(t),cos(t),t)
xlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),zlabel('t')

图像

image

对数和半对数坐标系绘图

​ 在Matlab中，可以采用函数semilogx()进行绘图，其中x轴采用对数坐标，y轴采用等比例刻度坐标。该函数的调用方式和函数plot相同，唯一不同的是x轴采用对数坐标

Matlab代码

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>> x=0:0.1:8;
>> y=log10(x);
>> subplot(1,2,1)
>> plot(y);
>> subplot(1,2,2);
>> semilogx(x,y)

结果

image-20220911161526359

二元函数

例：函数z=sin(xy)/xy

Matlab程序

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[x,y]=meshgrid([-3:0.2:3]);
z=(sin(x.*y)+eps)./(x.*y+eps);
surf(x,y,z)

图像

image

旋转曲面

image

Matlab程序如下

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3
x=0:10:600;
[x,y,z]=cylinder(30*exp(-x/400).*sin((x+25*pi)/100)+130);
surf(x,y,z)

图像

image

image

Matlab程序

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>> alpha=[0:0.1:2*pi]
>> beta=[0:0.1:2*pi]
>> x=@(alpha,beta)4*cos(alpha);
>> y=@(alpha,beta)(5+4*sin(alpha)).*cos(beta);
>> z=@(alpha,beta)(5+4*sin(alpha)).*sin(beta);
>> ezsurf(x,y,z)

图像

image

柱状图

​ 通过函数bar()绘制柱状

Matlab与高等数学

P.s 在matlab与高等数学中，对于极限以及导数等，对其中例如x的变量需要做符号变量定义

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syms x

求极限

Matlab中，求极限的命令为

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limit(expr,x,a)
limit(expr,a)
limit(expr)
limit(expr,x,a,'left')
limit(expr,x,a,'right')

其中，limit(expr,x,a)表示求符号表达式expr关于符号变量x趋近于a时的极限；limit(expr)表示求默认变量趋近于0时的极限

例如:

image

结果

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1.ans=1
2.ans=exp(a)

求导数

Matlab中，同样还可以求导数，命令为

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diff(expr)
diff(expr,v)
diff(expr,sym('v'))
diff(expr,n)
diff(expr,v,n)
diff(expr,n,v)

其中，diff(expr)表示求表达式expr关于默认变量的1阶导数；diff(expr,v,n)和diff(expr,n,v)都表示求表达式expr关于符号变量v的n阶导数

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>> syms x
>> dy=diff(log((x+2)/(1-x)),3);
>> dy=simplify(dy)
 
dy =
 
-(18*(x^2 + x + 1))/(x^2 + x - 2)^3
 
>> pretty(dy)
    2
  (x  + x + 1) 18
- ---------------
     2         3
   (x  + x - 2)

求极值

image 
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>> syms x
>> y=x^3+6*x^2+8*x-1;dy=diff(y);
>> dy_zero=solve(dy),dy_zero_num=double(dy_zero)

结果

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dy_zero =
 
 - (2*3^(1/2))/3 - 2
   (2*3^(1/2))/3 - 2
 

dy_zero_num =

   -3.1547
   -0.8453

求不定积分

Matlab求符号函数不定积分命令：

1
2
int(expr)
int(expr,v)

代码

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syms x
I=int(1/(1+sqrt(1-x^2)))

级数求和

Matlab求级数和命令为：

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2
r=symsum(expr,v)
r=symsum(expr,v,a,b)

其中，expr为级数的通项表达式；v是求和变量；a和b分别是求和变量的起始点和终止点，若没有指明a和b，则a的默认值为0，b的默认值为v-1

例如：

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3
syms n
f1=(2*n-1)/2^n;
s1=symsum(f1,n,1,inf)

求单变量非线性函数在区间上的最小值

fminbnd函数

求minf(x)

例如：求函数f(x)=(x-3)^2-1,0<=x<=5

编写M函数fun6.m

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function f=fun6(x);
f=(x-3)^2-1;
%然后输入
[x,y]=fminbnd('fun6',0,5);

求多变量非线性函数在区间上的最小值

Matlab标准式

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  1. 编写M函数fun7.m定义目标函数

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    function f=fun7(x,s);
    f=sum((x-0.5).^2);

  2. 编写M函数fun8.m定义约束条件如下

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    function[c,ceq,k1,k2,s]=fun8(x,s);
    c=[];ceq=[];
    if isnan(s(1,1))
    	s=[0.2,0;0.2,0];
    end;
    %取样值
    w1=1:s(1,1):100;
    w2=1:s(2,1):100;
    %半无穷约束
    k1=sin(w1*x(1)).*cos(w1*x(2))-1/1000*(w1-50).^2-sin(w1*x(3))-x(3)-1;
    k2=sin(w2*x(2)).*cos(w2*x(1))-1/1000*(w2-50).^2-sin(w2*x(3))-x(3)-1;
    %画出半无穷约束的图形
    plot(w1,k1,'-',w2,k2,'+');

  3. 调用函数fseminf

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    x0=[0.5;0.2;0.3];%如果初始值去的不合适，可能得不到可行解
    [x,y]=fseminf(@fun7,x0,2,@fun8)

求函数取极小-极大值时的x值

fminimax函数

Matlab标准式

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其Matlab命令为

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[x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
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  1. 编写M函数fun9.m定义向量函数如下

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    function f=fun9(x);
    f=[2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304
    	-x(1)^2-3*x(2)^2
    	x(1)+3*x(2)-18
    	-x(1)-x(2)
    	x(1)+x(2)-8];

  2. 调用函数fminimax

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    [x,y]=fminimax(@ fun9,rand(2,1))

插值拟合

Matlab代码

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%一维多项式插值
x=0:0.2:2;
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-3*x).*sin(x);
xi=0:0.03:2;
yi_nearest=interp1(x,y,xi,'nearest');%临近点插值
yi_linear=interp1(x,y,xi);%默认为线性插值
yi_spine=interp1(x,y,xi,'spine');%三次样条插值
yi_pchip=interp1(x,y,xi,'pchip');%分段三次Hermite插值
yi_v5cubic=interp1(x,y,xi,'v5cubic');%MATBLAB5中三次多项式插值
figure;
hold on;
subplot(2,3,1);
plot(x,y,'ro');%绘制数据点
title('已知数据点');
subplot(2,3,2);
plot(x,y,'ro',xi,yi_nearest,'b-');%绘制临近点插值的结果
title('临近点插值');
subplot(2,3,3);
plot(x,y,'ro',xi,yi_linear,'b-');%绘制线性插值的结果
title('线性插值');
subplot(2,3,4);
plot(x,y,'ro',xi,yi_spine,'b-');%绘制三次样条插值的结果
title('三次样条插值');
subplot(2,3,5);
plot(x,y,'ro',xi,yi_pchip,'b-');%绘制分段三次Hermite插值的结果
title('分段三次Hermite插值');
subplot(2,3,6);
plot(x,y,'ro',xi,yi_v5cubic,'b-');%绘制MATLAB5中三次多项式插值结果
title('MATLAB5中三次多项式插值的结果')

image-20220915165620735

插值方法 运算时间 占用内存 光滑程度
临近点插值 快 少 差
线性插值 稍长 较多 稍好
三次样条插值 最长 较多 最好
三次Hermite插值 较长 多 较好
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